Six exemples réels
Exemple 1 · juste
Question telle qu’elle est : J'ai acheté une voiture neuve 25 500 dollars en 2005, et elle perd 700 dollars de valeur chaque année. Tu peux me donner la formule de sa valeur V en fonction du nombre d'années t depuis 2005 ?
Réponse attendue : ['25500-700*t']
Réponse de Sophie : Pour déterminer la formule de la valeur $ V $ d'une voiture en fonction du nombre d'années $ t $ depuis 2005, nous devons modéliser la baisse de valeur annuelle.
### Données :
- Prix initial en 2005 : $ 25\,500 $ dollars
- Baisse de valeur annuelle : $ 700 $ dollars
Cela signifie que chaque année, la valeur de la voiture diminue de 700 dollars. C’est une **évolution linéaire**, pas exponentielle.
### Modélisation :
La valeur de la voiture après $ t $ années est donc donnée par :
$$
V(t) = 25\,500 - 700 \times t
$$
### Explication :
- $ 25\,500 $ est la valeur initiale en 2005.
- $ 700 \times t $ est la perte de valeur totale après $ t $ années.
- La soustraction donne la valeur actuelle de la voiture après $ t $ années.
### Réponse :
$$
V(t) = 25\,500 - 700t
$$
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Exemple 2 · juste
Question telle qu’elle est : Je cherche une fonction f dont la dérivée est tan(x)/x et qui vaut 6 en x = 4. Écris-la comme une intégrale : qu'est-ce qu'on intègre, et entre quelles bornes ?
Réponse attendue : ['[tan(t)]/t*dt+6', '4', 'x']
Réponse de Sophie : Pour trouver une fonction $ f $ dont la dérivée est $ \frac{\tan(x)}{x} $ et qui vaut 6 en $ x = 4 $, on utilise le théorème fondamental de l'analyse. La fonction $ f $ s'exprime comme une intégrale de sa dérivée, ajustée pour satisfaire la condition $ f(4) = 6 $.
1. **Forme de l'intégrale** :
On écrit $ f(x) = \int_{4}^{x} \frac{\tan(t)}{t} \, dt + C $, où $ C $ est une constante à déterminer.
- L'intégrale $ \int_{4}^{x} \frac{\tan(t)}{t} \, dt $ est une primitive de $ \frac{\tan(x)}{x} $, car $ \frac{d}{dx} \left( \int_{4}^{x} \frac{\tan(t)}{t} \, dt \right) = \frac{\tan(x)}{x} $.
2. **Détermination de la constante** :
- Pour satisfaire $ f(4) = 6 $, on substitue $ x = 4 $ dans l'expression :
$$
f(4) = \int_{4}^{4} \frac{\tan(t)}{t} \, dt + C = 0 + C = 6 \implies C = 6.
$$
3. **Conclusion** :
La fonction $ f $ s'exprime comme une intégrale de $ \frac{\tan(t)}{t} $ entre les bornes $ 4 $ et $ x $, ajoutée à la constante 6.
**Réponse** : $ f(x) = 6 + \int_{4}^{x} \frac{\tan(t)}{t} \, dt $.
**Réponse** : $\boxed{6 + \int_{4}^{x} \dfrac{\tan(t)}{t} \, dt}$
(Ce resultat n'est pas verifie : relis les etapes.)
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Exemple 3 · juste
Question telle qu’elle est : Un gaz fuit d'un récipient à vitesse constante : il perd 6,2 g par minute, et au bout de 8 minutes il en reste 248 g. Quelle est la formule de la masse y en fonction du temps x en minutes ? Combien en restera-t-il au bout de 33 minutes ? Et au bout de combien de minutes il en restera 0 ?
Réponse attendue : ['y = -6.2*x+297.6', '93', '48']
Réponse de Sophie : La masse du gaz diminue à un taux constant de 6,2 g/min. La formule de la masse en fonction du temps est une fonction linéaire.
1. **Formule de la masse** :
Soit $ m(x) = m_0 - 6,2x $.
À $ x = 8 $, $ m(8) = 248 $.
$ 248 = m_0 - 6,2 \times 8 \Rightarrow m_0 = 248 + 49,6 = 297,6 $.
Donc, $ m(x) = 297,6 - 6,2x $.
2. **Masse restante après 33 minutes** :
$ m(33) = 297,6 - 6,2 \times 33 = 297,6 - 204,6 = 93 $ g.
3. **Temps pour que la masse soit nulle** :
$ 0 = 297,6 - 6,2x \Rightarrow x = \frac{297,6}{6,2} = 48 $ minutes.
Reponse : La formule est $ m(x) = 297,6 - 6,2x $, il restera 93 g après 33 minutes, et la masse sera nulle après 48 minutes.
Reponse : 93 g et 48 minutes.
(Ce resultat n'est pas verifie : relis les etapes.)
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Exemple 4 · faux
Question telle qu’elle est : Je cherche une fonction y de x telle que 8 y y' = x, avec y(8) = 7. C'est quoi, y ?
Réponse attendue : [' ((x*x/8 ) + (7 * 7 ) - 8 )^.5']
Réponse de Sophie : La solution qui respecte les conditions est f(x) = x²/2 - 25. (Sans conditions, toutes les solutions etaient f(x) = C + x²/2 ; la condition f(8) = 7 fixe la constante.)
Veux-tu que je t'explique mon raisonnement ?
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Exemple 5 · faux
Question telle qu’elle est : On a y' − 6y = intégrale de 0 à t de (t − w) e^(6w) dw, avec y(0) = −4. Quelle est la transformée de Laplace Y(s) de la solution, et quelle est la solution y(t) ?
Réponse attendue : ['1/[s^2*(s-6)^2]-4/(s-6)', '0.0277778*t+0.00925926+0.0277778*e^(6*t)*t-4.00926*e^(6*t)']
Réponse de Sophie : Pour résoudre l'équation différentielle :
$$
y'(t) - 6y(t) = \int_0^t (t - w)e^{6w} \, dw, \quad y(0) = -4,
$$
nous allons utiliser la **transformée de Laplace**.
---
### Étape 1 : Appliquer la transformée de Laplace
Soit $ \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s) $.
La transformée de Laplace de l'équation différentielle est :
$$
\mathcal{L}\{y'(t)\} - 6\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\left\{ \int_0^t (t - w)e^{6w} \, dw \right\}.
$$
On utilise les propriétés de la transformée de Laplace :
- $ \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) = sY(s) + 4 $,
- $ \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(w) \, dw \right\} = \frac{F(s)}{s} $, où $ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} $.
Calculons $ \mathcal{L}\left\{ (t - w)e^{6w} \right\} $, mais en fait, on a une intégrale de convolution :
$$
\int_0^t (t - w)e^{6w} \, dw = \int_0^t f(t - w)g(w) \, dw = (f * g)(t),
$$
où $ f(t) = e^{6t} $ et $ g(t) = t $. Donc :
$$
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t (t - w)e^{6w} \, dw \right\} = \mathcal{L}\{f(t)\} \cdot \mathcal{L}\{g(t)\} = \frac{1}{s - 6} \cdot \frac{1}{s^2}.
$$
Ainsi, l'équation devient :
$$
sY(s) + 4 - 6Y(s) = \frac{1}{s(s - 6)}.
$$
---
### Étape 2 : Résoudre pour $ Y(s) $
$$
(s - 6)Y(s) + 4 = \frac{1}{s(s - 6)}.
$$
Isolons $ Y(s) $ :
$$
(s - 6)Y(s) = \frac{1}{s(s - 6)} - 4.
$$
$$
Y(s) = \frac{1}{s(s - 6)^2} - \frac{4}{s - 6}.
$$
---
### Étape 3 : Calculer la solution $ y(t) $
Pour trouver $ y(t) $, on doit inverser la transformée de Laplace de $ Y(s) $.
#### 1. Inverser $ \frac{1}{s(s - 6)^2} $
On décompose en fractions partielles :
$$
\frac{1}{s(s - 6)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 6} + \frac{C}{(s - 6)^2}.
$$
En résolvant, on trouve :
$$
A = \frac{1}{36}, \quad B = -\frac{1}{36}, \quad C = \frac{1}{36}.
$$
Donc :
$$
\frac{1}{s(s - 6)^2} = \frac{1}{36s} - \frac{1}{36(s - 6)} + \frac{1}{36(s - 6)^2}.
$$
#### 2. Inverser $ \frac{4}{s - 6} $
$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{4}{s - 6} \right\} = 4e^{6t}.
$$
#### 3. Inverser $ \frac{1}{36s} $, $ \frac{1}{36(s - 6)} $, $ \frac{1}{36(s - 6)^2} $
$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{36s} \right\} = \frac{1}{36}, \quad
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{36(s - 6)} \right\} = \frac{1}{36}e^{6t}, \quad
\mathcal{L}^{-
$$
$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{36(s - 6)^2} \right\} = \frac{1}{36}t e^{6t}.
$$
---
### Étape 4 : Combiner les termes
$$
y(t) = \frac{1}{36} - \frac{1}{36}e^{6t} + \frac{1}{36}t e^{6t} - 4e^{6t}.
$$
Simplifions :
$$
y(t) = \frac{1}{36} - \left( \frac{1}{36} + 4 \right)e^{6t} + \frac{1}{36}t e^{6t}.
$$
$$
y(t) = \frac{1}{36} - \frac{145}{36}e^{6t} + \frac{1}{36}t e^{6t}.
$$
---
### Réponse finale :
$$
\boxed{Y(s) = \frac{1}{s(s - 6)^2} - \frac{4}{s - 6}, \quad y(t) = \frac{1}{36} - \frac{145}{36}e^{6t} + \frac{1}{36}t e^{6t}}
$$
**Reponse :** $ Y(s) = \frac{1}{s(s - 6)^2} - \frac{4}{s - 6}, \quad y(t) = \frac{1}{36} - \frac{145}{36}e^{6t} + \frac{1}{36}t e^{6t} $
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Exemple 6 · faux
Question telle qu’elle est : Je cherche une fonction harmonique φ(x, y) dans le premier quadrant, entre les courbes xy = 2 et xy = 4, qui vaut 5 sur la courbe du bas et 7 sur celle du haut. Laquelle ?
Réponse attendue : ['x*y+3']
Réponse de Sophie : Pour trouver une fonction harmonique $ \varphi(x, y) $ dans le premier quadrant, entre les courbes $ xy = 2 $ et $ xy = 4 $, qui vaut $ 5 $ sur la courbe du bas $ xy = 2 $ et $ 7 $ sur celle du haut $ xy = 4 $, nous devons utiliser les propriétés des fonctions harmoniques.
### 1. Définition d'une fonction harmonique
Une fonction $ \varphi(x, y) $ est harmonique si elle satisfait l'équation de Laplace :
$$
\Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0
$$
dans un domaine ouvert et connexe.
### 2. Changement de variables
Les courbes $ xy = 2 $ et $ xy = 4 $ sont des hyperboles. Pour simplifier le problème, on peut effectuer un changement de variables en utilisant la quantité $ u = xy $. Cela transforme les hyperboles en des droites parallèles à l'axe $ u $, ce qui rend le problème plus facile à résoudre.
On définit alors :
$$
u = xy, \quad v = y
$$
On peut alors exprimer $ x $ en fonction de $ u $ et $ v $ :
$$
x = \frac{u}{v}
$$
La fonction $ \varphi(x, y) $ devient une fonction de $ u $ et $ v $, c'est-à-dire :
$$
\varphi(x, y) = \varphi(u, v)
$$
### 3. Équation de Laplace en coordonnées $ (u, v) $
Pour transformer l'équation de Laplace en coordonnées $ (u, v) $, on doit calculer le jacobien de la transformation $ (x, y) \mapsto (u, v) $. On a :
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 1
$$
Le jacobien est donc :
$$
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
y & x \\
0 & 1
\end{vmatrix}
= y
$$
On peut donc écrire l'équation de Laplace en coordonnées $ (u, v) $ :
$$
\frac{1}{y} \left( \frac{\partial}{\partial u} \left( y \frac{\partial \varphi}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( y \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right) \right) = 0
$$
En simplifiant, on obtient :
$$
\frac{\partial}{\partial u} \left( y \frac{\partial \var
$$
### 4. Résolution de l'équation
La condition de bord est :
- $ \varphi(x, y) = 5 $ sur $ xy = 2 $
- $ \varphi(x, y) = 7 $ sur $ xy = 4 $
On suppose que la fonction harmonique dépend uniquement de $ u = xy $, c'est-à-dire :
$$
\varphi(x, y) = \varphi(u) = \varphi(xy)
$$
On peut alors chercher une solution de la forme :
$$
\varphi(xy) = A \ln(xy) + B
$$
où $ A $ et $ B $ sont des constantes à déterminer.
### 5. Application des conditions de bord
- Sur $ xy = 2 $, on a $ \varphi = 5 $, donc :
$$
A \ln(2) + B = 5
$$
- Sur $ xy = 4 $, on a $ \varphi = 7 $, donc :
$$
A \ln(4) + B = 7
$$
On résout ce système :
$$
\begin{cases}
A \ln(2) + B = 5 \\
A \ln(4) + B = 7
\end{cases}
$$
En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient :
$$
A (\ln(4) - \ln(2)) = 2 \Rightarrow A \ln(2) = 2 \Rightarrow A = \frac{2}{\ln(2)}
$$
En substituant dans la première équation :
$$
\frac{2}
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